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Question

(A) दिया गया समाकल $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} \frac{	an 	heta}{\sqrt{2k \sec 	heta}} d	heta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।हम समाकल्य को इस

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(A) दिया गया समाकल $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} \frac{	an 	heta}{\sqrt{2k \sec 	heta}} d	heta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \frac{1}{\sqrt{2k}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} \frac{\sin 	heta / \cos 	heta}{\sqrt{1 / \cos 	heta}} d	heta = \frac{1}{\sqrt{2k}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} \frac{\sin 	heta}{\sqrt{\cos 	heta}} d	heta$.माना $u = \cos 	heta$,तो $du = -\sin 	heta d	heta$। जब $	heta = 0, u = 1$। जब $	heta = \frac{\pi}{3}, u = \frac{1}{2}$।$I = \frac{1}{\sqrt{2k}} \int_{1}^{1/2} -u^{-1/2} du = \frac{1}{\sqrt{2k}} \int_{1/2}^{1} u^{-1/2} du$.$I = \frac{1}{\sqrt{2k}} [2\sqrt{u}]_{1/2}^{1} = \frac{2}{\sqrt{2k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{\frac{2}{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.इसे दिए गए मान $1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ के बराबर रखने पर:$\sqrt{\frac{2}{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः,$\sqrt{\frac{2}{k}} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{2}{k} = 1$,यानी $k = 2$।

यदि $\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\tan \theta }}{{\sqrt {2k \sec \theta } }}} \,d\theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, (k > 0),$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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